| 平面上にｎ個の円があって、それらのどの２つも異なる２点で交わり、また、どの３つも１点で交わらないとする。これらのｎ個の円が平面を\(a_n\)個の部分に分けるとき、\(a_n\)をnの式で表せ。 |
学校傍用問題集に載っている問題。問題文がややこしいので、何度か読んで理解してほしいと思います。
まず、実際に図を描いて答えを探ってみましょう。
図より、\(a_1\)=2、\(a_2\)=4、\(a_3\)=8 であるから、(答)\(a_n\)=\(2^n\)とする生徒が多くいます。
しかし、これは間違いです。
中学入試を経験した生徒は、小学生のときに「規則性」に着目して問題を解いた経験があると思います。例えば、ある図形の辺の数が３→７→１１→１５→１９と増えていくとき、１０番目の図形の辺の数はどうなるかを問う問題です。規則性に従って考えれば、３→７→１１→１５→１９→２３→２７→３１→３５→３９で、答えは３９です。初項３、公差４の等差数列として解いてもいいかもしれません。中学入試ではこれで正解ですが、大学入試ではそうはいきません。大学入試では、そもそもその図形の辺の増え方が公差４になること自体を証明しなければいけないからです。つまり、その規則性が成り立つ理由自体についても言及しなければ大学入試においては正解とはならないのです。
この中学入試以来の癖がなかなか抜けない生徒がいます。個別指導で直接本人に何度か指摘しても改善されないことも少なくありません。ましてや集団授業においてなら、改善されずそのまま本番を迎える生徒も多いかもしれません。
実は、この問題の正解は\(2^n\)ではありません。正解は、\(ｎ^2\)-ｎ+2 です(なぜそうなるのかは今回は省略します。数列の漸化式の知識が必要です)。確かに、ｎに1.2.3を代入すればどちらも2.4.8となり、数字としては同じになります。しかし、4を代入すると\(2^n\)は16で、\(ｎ^2\)-ｎ+2 では14になります。生徒が思うほど単純な問題ではなかったのです。