受講生の予習答案（高２/宮崎大学）

数列の数学的帰納法の問題です。（1）は誰でも解けるでしょう。（2）は問題文の「予想し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ」いう指示に注目できれば中級者以上ならほぼ確実に解けると思います。三角関数の知識を用います。この「予想し」の代わりに、「推測し」という言葉が使われる場合もあります。（1）とこの誘導がなければこの問題は途端に難しくなります（と言っても難問の類ではありませんが）。一昔前に愛知医科大学医学部の問題を当時中３の甲陽生に解いてもらいました。８割以上は取れたのですが（かなり優秀な生徒でした）、この問題と同じタイプで、誘導が入っていない問題を落としていました。誘導があるかないかで大きく難易度は変わります。これは私の授業でも同じです。予習で解けなかった問題に対してはヒントを提示しますが、それを参考に解けたときに喜ぶ生徒が時々います。大きく成績を伸ばそうとするのならそれは間違った反応だと思います。「ヒントがなかったら本番では解けなかった…」と少しは悔しがってほしいですね。そして「ヒントなしで自身で気づくにはどうしたらよかったのか」について自分なりに考えてほしいと思います（もちろん私も考えを伝えます）。それがないといつまで経ってもヒントなしでは正解にたどり着けない受験生に育ってしまいます。集団授業ではヒントさえも出してくれないでしょう。生徒はほ講師の一方的な解説を受けて「わかったつもり」になって終わりです。その後しっかり復習しても結局は「自分で気づく」力はつかないでしょう。

画像の緑の下線部をご覧ください。「～を示したい」とタイトルを書いています。これが数学的帰納法をスムーズに解くためのコツです。みなさん頭の中でこの「～」の部分を残しつつ式変形を行うのですが、複雑な場合は途中から自分が何をやっているのかわからなくなります。わからなくなりそうになったら自分が書いたタイトルに戻ればいいのです。一部の天才タイプには不要なことだとは思いますが、私の生徒の中では、学年１位を取るような生徒でも書いています。